홈 > 강의소개
대학미적분학(JAMES STEWART)Ⅱ
김희수 교수
단국대학교 대학원 응용물리학과 석사과정
단국대학교 대학원 응용물리학과 박사졸업
단국대학교 대학원 응용물리학과 석사과정
단국대학교 대학원 응용물리학과 박사졸업
단국대학교
현) 유니와이즈 전임교수
AI가 이끄는 스마트한 학습 경험, AI 튜터와 함께 더 빠르고, 더 깊게 학습하세요.
긴 강의 내용을 AI가 핵심만 요약하여 복습 시간을 단축시킵니다.
강의에서 가장 중요한 키워드와 개념을 자동으로 추출해 제공합니다.
학습한 내용을 바탕으로 AI가 생성한 퀴즈를 풀며 이해도를 점검합니다.
모르는 부분을 24시간 언제든 AI 튜터에게 질문하고 답변을 받습니다.
총 0개 챕터, 53강으로 구성되어 있습니다.
| 제목 | 강의시간 | 상세내용 |
|---|---|---|
|
[1강] 매개변수방정식으로 정의된 곡선
|
0:
33:
46
|
|
|
매개변수방정식의 정의와 사이클로이드 곡선
* 매개변수방정식: x, y 좌표를 제3의 변수(매개변수) t의 함수로 표현하는 정의와 이를 통한 곡선 표현 원리. * 매개변수 소거: 매개변수를 제거하여 포물선, 원 등 x, y 관계의 직교방정식으로 변환하는 절차. * 사이클로이드 곡선: 직선 위를 구르는 원의 한 점이 그리는 자취로, 최속강하선·등시곡선 문제의 물리적 해답. |
||
|
[2강] 매개변수곡선에 대한 미적분
|
1:
02:
50
|
|
|
**매개변수곡선의 미적분: 접선, 넓이, 호의 길이**
• 매개변수곡선의 도함수: 연쇄법칙을 이용, 접선 기울기($dy/dx$)와 곡선의 오목성을 판별하는 2계도함수 계산 원리. • 매개변수곡선의 넓이: 정적분의 치환법을 적용하여 곡선 아래 면적($\int y \, dx$)을 매개변수 t에 대한 적분으로 변환하는 절차. • 매개변수곡선 호의 길이 및 곡면넓이: 미소 길이 요소($ds$)를 기반으로 곡선의 길이와 회전체 표면적을 구하는 정적분 공식. |
||
|
[3강] 극좌표
|
0:
48:
25
|
|
|
미적분학 극좌표계와 극곡선의 접선
* 극좌표계와 직각좌표계: 거리(r)와 각도(θ)로 점을 정의하고, 상호 변환 관계식(x=rcosθ, y=rsinθ)을 정리. * 극곡선 그래프와 대칭성: 극방정식 r=f(θ)을 통해 심장형, 장미곡선 등 주요 곡선의 개형과 대칭성 분석. * 극곡선의 접선: 매개변수 미분법을 활용해 접선의 기울기(dy/dx)를 계산하고 수평·수직 접선의 발생 조건 분석. |
||
|
[4강] 극좌표에서의 넓이와 길이
|
0:
28:
57
|
|
|
**극좌표에서의 넓이와 길이 계산**
• 극좌표계 영역 넓이: 미소 부채꼴의 합을 정적분으로 변환하는 원리와 두 곡선 사이 넓이를 계산하는 공식($A = \frac{1}{2} \int ([f(\theta)]^2 - [g(\theta)]^2) d\theta) • 극곡선 호의 길이: 극방정식을 매개변수화하여 유도된 공식($L = \int \sqrt{r^2+(dr/d\theta)^2} d\theta$)을 이용한 계산법 • 극곡선 교점 분석: 연립방정식과 그래프를 함께 사용하여 원점을 포함한 모든 교점을 탐색하고 적분 구간을 설정하는 과정 |
||
|
[5강] 원뿔곡선
|
0:
58:
50
|
|
|
**원뿔곡선: 포물선, 타원, 쌍곡선의 정의와 방정식**
* 원뿔곡선 정의: 초점·준선과의 거리 관계(같음·합·차)에 따라 포물선, 타원, 쌍곡선으로 구분되는 기하학적 원리. * 원뿔곡선 표준 방정식: 각 곡선의 정의를 대수적으로 표현한 2차식으로, 초점·꼭짓점·점근선 등 주요 요소 파악의 기반. * 원뿔곡선 평행이동: 완전제곱식 변형을 통해 일반 2차 방정식의 중심·꼭짓점을 파악하고 그래프 형태를 분석하는 절차. |
||
|
[6강] 극좌표에서 원뿔곡선
|
1:
04:
25
|
|
|
### 극좌표에서 원뿔곡선 - 이심률과 극방정식
• 원뿔곡선과 이심률(e): 초점과 준선을 이용한 통합적 정의 및 e 값에 따른 포물선·타원·쌍곡선 판별 원리. • 원뿔곡선의 극방정식: $r = \frac{ed}{1 \pm e\cos(\sin)\theta}$ 표준형 유도 및 분모 항에 따른 준선 위치 결정 구조. • 극좌표 회전 변환: 원점을 중심으로 한 원뿔곡선 그래프의 회전 원리($\theta \rightarrow \theta-\alpha$)와 방정식 유도. |
||
|
[7강] 수열
|
1:
10:
51
|
|
|
**수열의 정의, 극한, 그리고 단조수열**
• 수열의 정의와 극한: 수열을 자연수 정의역 함수로 정의하고, 항의 경향성을 분석하는 수렴·발산 개념 정리 • 수열 극한값 계산법: 함수의 극한법칙, 압축정리 등을 적용하여 수열의 극한값을 구하는 절차 • 단조수열 정리: 유계인 단조수열의 수렴성을 보장하는 원리와 실수의 완비성 공리와의 관계 요약 |
||
|
[8강] 급수
|
0:
47:
04
|
|
|
미적분학 급수의 정의와 수렴판정
• 급수의 수렴과 발산: 무한수열의 합을 부분합 수열의 극한으로 정의하고 판정하는 기본 원리 • 기하급수·망원급수·조화급수: 공비 조건에 따른 수렴, 부분 분수 분해를 통한 합 계산, 발산하는 대표 급수 유형 분석 • 급수 수렴과 일반항 극한의 관계: 급수 수렴의 필요조건($\lim a_n = 0$)을 활용한 발산판정법의 원리와 적용 |
||
|
[9강] 적분판정법과 합의 추정
|
0:
52:
05
|
|
|
적분판정법과 급수 합의 추정
• 적분판정법: 함수가 연속·양수·감소 조건을 만족할 때, 이상적분의 수렴 여부로 급수의 수렴성을 판정하는 원리. • p-급수: 지수 p의 값(p>1이면 수렴)에 따라 수렴성이 결정되는 급수로, 다른 급수 판정의 기준이 됨. • 나머지 오차 추정: 수렴하는 급수의 부분합과 실제 합의 차이(오차) 범위를 이상적분을 이용해 정밀하게 계산하는 방법. |
||
|
[10강] 비교판정법, 교대급수
|
1:
00:
02
|
|
|
급수 수렴 판정: 비교판정법과 교대급수
• 급수 비교 판정법(비교판정법, 극한비교판정법): p-급수, 기하급수 등과 항의 크기 또는 비율의 극한을 비교하여 급수 수렴성 판정. • 교대급수 판정법: 항의 크기가 감소($b_{n+1} \le b_n$)하고 일반항의 극한값이 0($\lim_{n \to \infty} b_n = 0$)일 때 교대급수 수렴 판정. • 급수 오차 추정: 비교판정법의 나머지항($R_n \le T_n$) 또는 교대급수 추정정리($|R_n| \le b_{n+1}$)를 이용한 급수 합의 근삿값 오차 계산. |
||
|
[11강] 절대수렴과 비판정법 및 근판정법, 거듭제곱급수
|
1:
08:
35
|
|
|
절대수렴, 판정법, 거듭제곱급수
• 절대수렴과 조건부 수렴: 급수 항의 절댓값에 따른 수렴 유형 분류 및 항 재배열 시 합의 변화 원리. • 비판정법과 근판정법: 연속된 항의 비율 또는 n제곱근의 극한값을 이용해 급수의 절대수렴 및 발산을 판정하는 절차. • 거듭제곱급수와 수렴구간: 변수 x를 포함하는 급수의 수렴 범위를 정의하며, 수렴반지름 계산과 구간 양 끝점 판정 절차를 포함. |
||
|
[12강] 함수를 거듭제곱급수로 나타내기
|
0:
41:
59
|
|
|
함수를 거듭제곱급수로 나타내기: 기하급수와 항별 미적분
• 거듭제곱급수 표현: 기하급수 공식을 변형하여 특정 함수를 나타내는 기본 원리와 전개 방식. • 거듭제곱급수의 항별 미적분: 기존 급수를 각 항별로 미분·적분하여 새로운 함수의 급수를 유도하는 계산 절차. • 정적분 근삿값 계산: 피적분함수를 급수 전개 후 항별 적분하여, 교대급수 오차 추정 등을 통해 근삿값을 구하는 응용. |
||
|
[13강] 테일러급수와 매클로린급수 (1)
|
1:
06:
36
|
|
|
테일러급수와 매클로린급수 개념 및 응용
• 테일러급수와 매클로린급수: 함수를 무한번 미분하여 계수를 결정하고, 중심점 근방에서 거듭제곱급수로 표현하는 원리. • 테일러 부등식과 나머지 항: 함수와 테일러다항식의 오차(나머지 항)가 0으로 수렴함을 증명하여 급수의 동일성을 보장하는 조건. • 주요 함수의 급수 응용: e^x, sin(x) 등 기본 함수의 매클로린급수를 유도하고, 이를 미분·적분하여 새로운 함수의 급수를 계산. |
||
|
[14강] 테일러급수와 매클로린급수 (2)
|
1:
09:
43
|
|
|
테일러급수와 매클로린급수 응용
• 이항급수 및 주요 매클로린급수: 기본 함수들을 다항식의 무한합으로 표현하고, 각 급수의 수렴반지름을 정의. • 매클로린급수 응용: 거듭제곱급수 형태를 활용한 항별 적분, 극한 계산, 다항식 연산 기법. • 테일러 다항식 근사: 함수를 n차 다항식($T_n(x)$)으로 근사하고, 테일러 부등식을 이용해 오차($R_n(x)$)의 상한을 추정. |
||
|
[15강] 3차원 좌표계, 벡터
|
1:
10:
41
|
|
|
3차원 좌표계와 벡터의 기본 연산
• 3차원 공간 좌표계: 오른손 법칙 기반 공간 정의, 점 간 거리 계산 및 구면의 방정식 정리. • 벡터의 기본 연산: 크기와 방향을 갖는 벡터의 기하학적(삼각형 법칙)·대수적(성분) 연산 원리. • 벡터의 성분과 기저: 표준기저벡터(i, j, k)를 이용한 벡터의 선형 결합 표현 및 단위벡터 계산법. |
||
|
[16강] 벡터의 내적
|
0:
48:
07
|
|
|
**벡터의 내적 정의와 기하학적 응용**
* 벡터 내적(Dot Product): 각 성분 곱의 합(대수적 정의)과 두 벡터 크기 및 사잇각 코사인 곱(기하학적 정의)의 관계 정리. * 사잇각 및 직교성: 내적을 이용한 두 벡터의 사잇각 계산, 직교(내적=0) 조건 분석 및 방향코사인을 통한 벡터 방향 정의. * 벡터 사영(Projection): 한 벡터를 다른 벡터 방향으로 분해하는 스칼라/벡터 사영 개념과 힘이 한 일(Work) 계산 등 물리적 응용. |
||
|
[17강] 벡터의 외적
|
1:
02:
18
|
|
|
벡터의 외적 정의와 기하학적 응용
• 벡터 외적 정의 및 계산: 행렬식을 이용한 성분 계산법과 오른손 법칙, 평행사변형 넓이 등 기하학적 의미 정리 • 스칼라 삼중적: 세 벡터가 구성하는 평행육면체의 부피 계산 원리와 동일 평면 조건(값이 0) 분석 • 벡터 외적의 물리적 응용: 위치 벡터와 힘 벡터의 외적으로 정의되는 돌림힘(토크)의 개념과 계산 원리 |
||
|
[18강] 직선 및 평면의 방정식
|
1:
04:
04
|
|
|
### 미적분학 직선과 평면의 방정식
* **3차원 직선과 평면의 방정식:** 방향벡터와 법선벡터를 이용해 직선(벡터·매개변수·대칭)과 평면(벡터·스칼라)의 방정식을 정의. * **직선과 평면의 위치 관계 분석:** 벡터의 내적과 외적을 활용하여 두 평면의 각도, 교선, 두 직선의 꼬인 위치 등을 판별. * **점, 직선, 평면 간 거리 계산:** 점과 평면 사이 거리 공식을 기반으로 평행한 두 평면, 꼬인 위치의 두 직선 사이의 최단 거리를 산출. |
||
|
[19강] 주면과 이차곡면
|
1:
03:
57
|
|
|
주면과 이차곡면의 방정식 및 그래프
• 주면(Cylinder): 특정 변수가 없는 3차원 방정식의 정의와 해당 축에 평행한 모선으로 구성된 곡면 그래프 분석 • 이차곡면(Quadric Surface): 3변수 이차방정식의 표준형에 따른 타원면·포물면·쌍곡면 등 종류별 방정식과 자취의 특징 분류 • 이차곡면 방정식 변환: 완전제곱식을 이용해 일반형 방정식을 표준형으로 변환하여 곡면의 종류·꼭짓점·축을 식별하는 절차 |
||
|
[20강] 벡터함수
|
0:
52:
34
|
|
|
벡터함수의 정의, 미분, 적분
• 벡터함수와 공간곡선: 실수를 정의역, 벡터를 치역으로 하는 함수와 그 종점이 그리는 궤적을 정의 • 벡터함수의 미분: 각 성분함수의 도함수를 통해 공간곡선의 접선벡터를 계산하고 내적·외적 등 미분법칙을 적용 • 벡터함수의 적분: 각 성분함수를 개별적으로 적분하여 미적분학의 기본정리를 벡터 공간으로 확장·적용 |
||
|
[21강] 호의 길이와 곡률
|
1:
09:
27
|
|
|
### 호의 길이와 곡률 - 벡터함수 미적분
* 호의 길이와 호의 길이함수: 벡터함수 도함수의 크기를 적분하여 곡선 길이를 계산하고, 이를 통해 곡선을 재매개변수화하는 원리. * 곡률(κ): 단위접선벡터(T)의 호의 길이에 대한 변화율로 정의하며, 벡터 외적을 이용한 공식(|r' × r''| / |r'|³)으로 계산. * 단위접선(T)·주단위법선(N)·종법선벡터(B): 곡선의 기하학적 구조를 분석하는 직교좌표계(프레네-세레 틀)와 접촉평면·법평면을 정의. |
||
|
[22강] 공간에서의 운동 : 속도와 가속도 (1)
|
0:
52:
45
|
|
|
**공간에서의 운동 속도와 가속도**
• 공간궤적의 속도와 가속도: 위치벡터($\vec{r}(t)$)를 미분하여 속도($\vec{v}(t)$)와 가속도($\vec{a}(t)$)를 정의하고, 적분으로 운동을 분석하는 원리 • 가속도의 성분 분해: 가속도 벡터를 속력 변화를 나타내는 접선성분($a_T$)과 운동 방향 변화를 의미하는 법선성분($a_N$)으로 분해 • 가속도 성분 계산: 위치벡터의 도함수와 벡터 내적·외적을 이용하여 접선성분($a_T$)과 법선성분($a_N$)을 구하는 절차 |
||
|
[23강] 공간에서의 운동 : 속도와 가속도 (2)
|
0:
39:
59
|
|
|
케플러 법칙과 공간 운동의 벡터 해석
• 벡터 함수와 공간 운동 해석: 벡터 미적분(도함수, 정적분)과 공간 곡선의 기하학적 속성(단위 접선/법선 벡터, 곡률)을 정의. • 케플러 행성운동법칙: 행성의 운동을 설명하는 3가지 경험 법칙(타원 궤도, 면적 속도 일정, 주기 법칙)의 핵심 원리 요약. • 만유인력의 벡터 해석: 뉴턴의 만유인력 법칙을 벡터 연산(외적, 삼중곱)으로 분석하여 행성 궤도가 원뿔 곡선(타원)의 극방정식을 따름을 증명. |
||
|
[24강] 다변수함수
|
0:
59:
12
|
|
|
**다변수함수의 정의와 시각화**
* 다변수함수 개념: 둘 이상의 독립변수에 하나의 종속변수가 대응하는 함수로, 이변수함수의 정의역(ℝ²)과 치역(ℝ)을 정의. * 이변수함수 시각화: 3차원 공간의 곡면 그래프로 기하학적 형태를 파악하거나, 함숫값이 같은 점을 연결한 등위곡선으로 2차원에 표현. * 삼변수 이상 함수 확장: 정의역이 ℝ³ 이상인 함수 개념으로, 그래프 시각화의 한계를 함숫값이 같은 곡면인 등위곡면을 통해 분석. |
||
|
[25강] 극한과 연속
|
0:
56:
40
|
|
|
이변수함수 극한 존재 조건과 연속성
• 이변수함수 극한: 접근 경로에 무관하게 극한값이 동일해야 한다는 존재 조건 및 엡실론-델타 정의. • 극한 존재 여부 판별: 서로 다른 경로(x축, y=mx 등)를 대입해 극한값의 불일치를 증명하거나, 엡실론-델타 논법으로 존재를 증명. • 다변수함수의 연속성: 극한값이 함수값과 일치한다는 정의와 유리함수의 불연속점(분모=0) 판별. |
||
|
[26강] 편도함수
|
0:
51:
01
|
|
|
미적분학 편도함수의 정의와 해석
• 편도함수: 다변수함수에서 특정 변수를 제외한 나머지를 상수로 취급하여 해당 변수의 변화율을 구하는 미분법. • 편미분계수의 기하학적 의미: 다변수함수 곡면을 특정 축에 평행한 평면으로 자른 단면 곡선의 접선 기울기. • 고계편도함수와 클레로의 정리: 편도함수를 반복 미분하는 과정과, 혼합 편도함수의 연속성 조건 하에 미분 순서가 결과에 영향을 미치지 않는다는 원리. |
||
|
[27강] 접평면과 선형근사
|
1:
01:
57
|
|
|
**접평면과 선형근사 - 이변수함수 근사법**
* 접평면: 이변수함수의 편미분계수를 이용해 특정 점에서의 곡면을 근사하는 평면의 방정식을 정의하는 원리. * 선형근사 및 선형화: 접평면을 선형함수로 활용하여 특정 점 부근에서 함수의 값을 근사적으로 계산하는 기법. * 전미분(dz): 함수의 실제 변화량(증분, Δz)을 접평면의 변화량으로 근사하여 오차 추정에 활용하는 개념. |
||
|
[28강] 연쇄법칙
|
1:
00:
15
|
|
|
### 다변수함수의 연쇄법칙과 음함수 미분법
* **다변수함수 연쇄법칙:** 중간변수가 갖는 독립변수 개수에 따라 전미분($d$)과 편미분($\partial$)을 구분하여 합성함수의 도함수를 계산하는 절차. * **수형도(Tree Diagram):** 종속·중간·독립변수 간의 관계를 시각화하여 복잡한 연쇄법칙의 적용 경로를 명확히 하는 구조. * **음함수 미분법:** 연쇄법칙을 응용, $F(x, y)=0$ 또는 $F(x, y, z)=0$ 형태의 방정식에서 편도함수($-F_x/F_y$)를 구하는 공식. |
||
|
[29강] 방향도함수와 기울기 벡터
|
1:
10:
19
|
|
|
# 방향도함수와 기울기 벡터
* 방향도함수: 특정 방향으로의 순간변화율을 정의하며, 기울기 벡터와 단위 방향 벡터의 내적으로 계산. * 기울기 벡터(∇f): 편도함수로 구성된 벡터로, 함수 값이 가장 빠르게 증가하는 방향과 그 최대 변화율(크기)을 나타냄. * 등위곡면과 접평면: 기울기 벡터가 등위곡면에 수직인 성질을 이용, 특정 지점의 접평면과 법선을 구하는 원리. |
||
|
[30강] 최댓값과 최솟값
|
1:
06:
47
|
|
|
이변수함수 최대최소와 2계 도함수 판정법
• 이변수함수 임계점: 극값 후보를 찾기 위해 1계 편도함수($f_x=0, f_y=0$)를 만족하는 점을 정의. • 2계 도함수 판정법: 판별식 $D$를 이용해 임계점을 극대, 극소, 안장점으로 분류하는 절차. • 유계 폐집합 내 최대·최소: 영역 내부의 임계점과 경계점의 함숫값을 비교해 절대적 최대·최소를 찾는 방법. |
||
|
[31강] 라그랑주 승수
|
1:
05:
02
|
|
|
라그랑주 승수법: 제약조건 하의 최대·최소
• 라그랑주 승수법: 제약조건 최적화 문제에서, 등위곡선(면) 접점의 기울기 벡터 평행 원리(∇f = λ∇g)를 이용해 극값을 찾는 해법. • 단일 제약조건 풀이 절차: 기울기 벡터 방정식(∇f = λ∇g)과 제약조건(g=k)을 연립방정식으로 변환하여 해를 찾는 계산 과정. • 다중 제약조건 확장: 두 제약조건(g=k, h=c) 하에서 기울기 벡터들이 동일 평면에 있다는 원리(∇f = λ∇g + μ∇h)를 적용하여 선형 결합으로 문제 해결. |
||
|
[32강] 직사각형 영역에서 이중적분
|
0:
59:
10
|
|
|
이중적분 - 직사각형 영역에서의 정의와 계산
• 이중적분 정의: 이중 리만 합의 극한으로 곡면 아래의 부피를 계산하는 원리. • 반복적분과 푸비니 정리: 이중적분을 두 개의 단일적분으로 계산하는 절차와 적분 순서 교환의 원리. • 변수 분리형 함수 적분과 평균값: 피적분함수가 g(x)h(y) 꼴일 때의 계산법과 특정 영역에서의 함수 평균값 정의. |
||
|
[33강] 일반적인 영역에서 이중적분
|
0:
55:
30
|
|
|
**일반적인 영역의 이중적분: 유형 I, II**
• 일반 영역 이중적분: 적분 영역(D)을 포함하는 직사각형(R)과 확장 함수를 이용해 이중적분을 반복적분으로 정의 및 계산. • 유형 I·II 영역: x 또는 y의 범위를 상수로, 나머지 변수를 함수 경계로 설정하여 이중적분을 dydx 또는 dxdy 순서의 반복적분으로 변환. • 적분 순서 변경: 피적분함수나 영역 형태에 따라 계산을 단순화하기 위해 유형 I·II를 전환, 적분 순서(dydx ↔ dxdy)를 재구성하는 기법. |
||
|
[34강] 극좌표에서 이중적분
|
0:
51:
16
|
|
|
극좌표 이중적분: 좌표 변환과 면적소
• 극좌표 이중적분: 원형 또는 방사형으로 정의된 영역의 적분을 위해 직교좌표(x,y)를 극좌표(r,θ)로 변환하는 계산 기법. • 미소 면적소 변환(dA): 직교좌표의 면적소 dxdy를 반지름 r이 포함된 rdrdθ로 변환하는 극좌표 적분의 핵심 원리. • 극좌표 변환 공식 활용: 함수와 면적소를 변환한 $\iint f(r\cos\theta, r\sin\theta)rdrd\theta$를 이용해 극곡선 영역의 넓이 및 입체 부피 계산. |
||
|
[35강] 이중적분의 응용
|
1:
04:
44
|
|
|
이중적분의 응용: 질량, 모멘트, 확률 계산
• 질량과 질량중심 계산: 밀도 함수(ρ)의 이중적분을 통해 평면 영역의 총질량, 각 축에 대한 모멘트 및 균형점(질량중심)을 정의. • 관성모멘트(2차 모멘트): 회전축으로부터 거리의 제곱을 가중치로 한 이중적분을 통해 물체의 회전 관성을 계산하는 절차. • 결합밀도함수와 기댓값: 2변수 확률분포에서 결합밀도함수(f)의 이중적분을 통해 특정 사건의 발생 확률과 각 변수의 평균(기댓값)을 계산. |
||
|
[36강] 곡면넓이, 삼중적분
|
1:
03:
35
|
|
|
곡면넓이와 삼중적분 계산
• 곡면넓이 계산: 미소 접평면 넓이의 합을 편도함수가 포함된 이중적분 공식으로 계산하는 원리. • 삼중적분: 미소체적의 삼중 리만합으로 정의하며, 푸비니 정리를 이용해 반복적분으로 계산하는 절차. • 일반 영역 삼중적분: 적분 영역을 특정 평면에 사영하는 유형(1, 2, 3)에 따라 적분 순서와 범위를 결정하는 방법. |
||
|
[37강] 삼중적분의 응용
|
0:
32:
02
|
|
|
### 삼중적분의 응용 - 부피, 질량, 질량중심 계산
* 삼중적분의 부피 계산: 피적분함수가 1일 때 해당 3차원 유계영역의 체적을 산출하는 기본 원리. * 물리량 계산 응용: 밀도 함수(ρ)를 적분하여 물체의 질량, 모멘트, 질량중심, 관성모멘트 등 주요 물리량을 도출. * 전하량 및 확률 계산 응용: 부피전하밀도(σ)나 결합확률밀도함수(f)를 적분하여 총 전하량 또는 특정 사건의 확률을 계산. |
||
|
[38강] 원기둥좌표에서 삼중적분, 구면좌표에서 삼중적분
|
1:
02:
20
|
|
|
**원기둥 및 구면좌표계에서의 삼중적분**
* 원기둥좌표계 삼중적분: 직각좌표를 (r, θ, z)로 변환하고 미소 체적(dV)을 r dz dr dθ로 대체하여 적분하는 계산 절차. * 구면좌표계 삼중적분: 직각좌표를 (ρ, θ, φ)로 변환하고 미소 체적(dV)을 ρ² sinφ dρ dθ dφ로 대체하여 적분하는 계산 절차. * 좌표 변환과 적분 구간 설정: 피적분 함수와 적분 영역을 각 좌표계에 맞춰 변환하고 새로운 변수의 적분 범위를 정의하는 핵심 원리. |
||
|
[39강] 다중적분에서 변수변환
|
1:
06:
29
|
|
|
**다중적분에서의 변수변환과 야코비안**
• 다중적분 변수변환: 복잡한 적분 영역이나 피적분함수를 간단한 좌표계로 변환하여 계산을 용이하게 하는 기법. • 야코비안(Jacobian): 좌표 변환 시 발생하는 미소 면적 또는 체적 요소의 변화 비율을 보정하는 행렬식(가중치). • 변수변환 적분 공식: 이중 및 삼중적분에서 야코비안을 곱하여 변환된 좌표계의 정적분을 계산하는 절차. |
||
|
[40강] 벡터장
|
0:
36:
32
|
|
|
**벡터장의 정의와 그래디언트 벡터장**
* 벡터장: R² 또는 R³ 공간의 각 점에 벡터를 대응시키는 함수로, 성분함수를 이용해 표현. * 그래디언트 벡터장: 스칼라 함수 f의 그래디언트(∇f)로 구성된 벡터장으로, f의 등위 곡선(면)에 수직. * 보존적 벡터장과 퍼텐셜 함수: 벡터장 F가 F=∇f를 만족할 때, F와 스칼라 함수 f의 관계 정의. |
||
|
[41강] 선적분 (1)
|
0:
46:
28
|
|
|
미적분학 선적분의 정의와 계산
• 선적분(Line Integral): 곡선 경로상에 정의된 함수를 적분하는 개념으로, 매개변수 방정식을 이용해 정적분으로 변환하여 계산. • 선적분 종류 및 응용: 호의 길이(ds)와 좌표(dx, dy)에 따른 적분 정의, 선밀도 함수를 이용한 질량 및 질량중심 계산. • 선적분 주요 성질: 조각마다 매끄러운 곡선의 적분은 각 구간의 합으로 계산하며, 적분 경로에 따라 결과가 달라지는 경로 의존성을 가짐. |
||
|
[42강] 선적분 (2)
|
0:
38:
38
|
|
|
**미적분학 선적분: 공간 및 벡터장**
* 공간 스칼라 선적분: 3차원 곡선을 매개변수화하여 호의 길이(ds)를 기준으로 정의하는 적분 방식으로, 곡선의 길이 계산 등에 활용. * 벡터장 선적분: 힘이 곡선을 따라 한 일(Work)을 계산하는 물리적 개념으로, 벡터장(F)과 미소 변위(dr)의 내적을 적분하여 계산. * 선적분 계산 원리: 주어진 곡선을 매개변수(t)로 표현하고, 모든 선적분을 단일 변수 t에 대한 정적분으로 변환하여 계산. |
||
|
[43강] 선적분의 기본 정리
|
0:
57:
06
|
|
|
선적분의 기본정리: 경로 독립성과 보존적 벡터장
• 선적분의 기본정리: 그래디언트 벡터장(∇f)의 선적분 값을 경로와 무관하게 퍼텐셜 함수(f)의 양 끝점 값 차이로 계산하는 정리. • 보존적 벡터장: 선적분이 경로에 독립적인 벡터장으로, 단순연결영역 내에서 성분 함수의 편도함수 관계(∂P/∂y = ∂Q/∂x)로 판정. • 퍼텐셜 함수: 보존장 F=∇f를 만족하는 스칼라 함수 f로, 편적분을 통해 계산하며 역학적 에너지 보존 법칙의 기초 원리. |
||
|
[44강] 그린 정리
|
0:
49:
24
|
|
|
**그린 정리의 개념, 증명 및 확장**
* 그린 정리: 닫힌 경로의 선적분을 해당 경로가 둘러싼 영역의 이중적분으로 변환하는 핵심 원리. * 그린 정리의 활용(넓이 계산): ∂Q/∂x - ∂P/∂y = 1 조건 하에, 영역의 넓이를 경계선을 따르는 선적분으로 계산. * 보존적 벡터장 판정과의 연관성: ∂P/∂y = ∂Q/∂x 조건이 성립할 때 닫힌 경로 선적분이 0이 됨을 증명하여 경로 독립성을 설명. |
||
|
[45강] 회전과 발산
|
0:
55:
40
|
|
|
**벡터장의 회전(Curl)과 발산(Divergence)**
* 벡터장의 회전(Curl)과 발산(Divergence): 델(∇) 연산자와의 외적(∇×F)·내적(∇·F)으로 정의되며, 벡터장의 국소적 회전 및 유출·유입량을 정량화하는 미분 연산. * 보존적 벡터장과 라플라스 연산자: 회전(Curl)값이 0인 보존장 판별 원리와, 그래디언트의 발산(div(∇f))으로 정의되는 라플라스 연산자(∇²) 개념 정리. * 그린 정리의 벡터 형식: 선적분을 회전(Curl)의 면적분(접선 형식) 또는 발산(Divergence)의 면적분(법선 형식)으로 변환하여 벡터장의 흐름과 순환을 분석. |
||
|
[46강] 매개곡면과 그 넓이 (1)
|
0:
32:
39
|
|
|
**매개곡면의 정의와 매개변수 표현**
* 매개곡면의 정의: 두 매개변수(u, v)를 사용하는 벡터함수 $\vec{r}(u,v)$로 3차원 곡면을 정의하고, 격자곡선으로 그 구조를 파악하는 기본 원리. * 다양한 곡면의 매개변수화: 평면, 구면, 원기둥 등 주요 기하학적 형상을 원주·구면좌표계 등을 활용해 매개변수방정식으로 변환하는 절차. * 회전곡면의 매개변수 표현: 평면곡선($y=f(x)$)을 특정 축 중심으로 회전시켜 생성된 곡면의 일반화된 매개변수방정식을 유도하는 방법. |
||
|
[47강] 매개곡면과 그 넓이 (2)
|
0:
46:
29
|
|
|
**매개곡면의 접평면과 곡면넓이 계산**
• 매개곡면의 접평면: 격자곡선의 접선벡터($\vec{r}_u, \vec{r}_v$)의 외적을 법선벡터로 사용하여 정의하는 평면. • 매개곡면의 넓이 계산: 접선벡터 외적의 크기 $|\vec{r}_u \times \vec{r}_v|$를 매개변수 정의역에 대해 이중적분하여 산출. • 함수그래프 및 회전체 곡면넓이: 일반 공식을 $z=f(x,y)$나 회전체 매개변수방정식에 적용하여 유도된 특정 형태의 적분 공식. |
||
|
[48강] 면적분
|
1:
09:
22
|
|
|
면적분 - 스칼라 함수와 벡터장의 면적분
• 스칼라 함수의 면적분: 곡면 매개변수화와 면적 요소($dS$)를 이용해 이중적분으로 변환하여 곡면의 총질량, 질량중심 등을 계산. • 벡터장의 면적분 (유량): 유향곡면의 단위법선벡터($\hat{n}$)를 이용해 벡터장($\vec{F}$)의 법선 성분을 적분, 전기선속 및 열흐름을 분석. |
||
|
[49강] 스토크스 정리
|
0:
56:
20
|
|
|
스토크스 정리 - 개념, 증명 및 응용
* 스토크스 정리(Stokes' Theorem): 벡터장 회전(curl)의 면적분 값을 그 경계곡선의 선적분 값과 연결하는 관계로, 그린 정리의 3차원 일반화. * 면적분-선적분 변환: 복잡한 면적분을 계산이 용이한 선적분으로 바꾸거나, 동일 경계곡선을 공유하는 다른 곡면의 적분으로 대체하는 데 활용. * 회전(Curl)과 보존장: 유체 순환(circulation) 개념으로 회전의 물리적 의미를 설명하고, 'curl F = 0'이 보존장일 필요충분조건임을 증명. |
||
|
[50강] 발산정리
|
0:
54:
50
|
|
|
미적분학 발산정리의 정의와 증명
• 발산정리(가우스 정리): 3차원 벡터장의 면적분을 삼중적분으로 변환하는 정리로, 경계면의 유량(flux)과 내부 발산(divergence)의 관계를 설명. • 발산(Divergence): 벡터장이 한 점에서 퍼져나가는 정도를 나타내는 연산자로, 용출점(source)과 흡입점(sink)의 물리적 의미를 규정. • 벡터 미적분학 정리 관계: 그린, 스토크스, 발산 정리 간의 차원 확장 관계와 전자기학의 가우스 법칙 증명 등 응용 원리 요약. |
||
|
[51강] 2계 선형방정식
|
0:
42:
45
|
|
|
### 2계 선형 미분방정식 - 상수 계수 동차 방정식 풀이
* 상수 계수 2계 동차 선형 미분방정식: 지수함수 해를 가정하여 미분방정식을 대수적 2차 방정식인 보조방정식으로 변환하는 풀이 원리 * 보조방정식 판별식: 판별식의 부호(양수, 0, 음수)에 따라 실근, 중근, 복소수근으로 나뉘며 지수함수와 삼각함수가 결합된 세 가지 형태의 일반해 도출 * 초기값 및 경계값 문제: 주어진 초기/경계 조건을 일반해에 대입하여 미정 계수를 확정하고, 고유한 특수해를 구하는 최종 절차 |
||
|
[52강] 비동차 선형방정식
|
1:
03:
56
|
|
|
비동차 선형 미분방정식의 해법
• 비동차 선형 미분방정식 일반해: 보조해($y_c$)와 특수해($y_p$)의 합으로 구성되는 해의 기본 구조. • 미정계수법: G(x) 형태에 따라 특수해를 가정하고, 보조해와 중복 시 x를 곱해 미정 계수를 결정하는 절차. • 매개변수 변화법: 미정계수법 적용이 불가능할 때 보조해와 론스키안(Wronskian)을 이용해 특수해를 구하는 일반 해법. |
||
|
[53강] 2계 미분방정식의 응용, 급수해
|
1:
02:
48
|
|
|
2계 미분방정식의 응용과 급수해
• 2계 선형 미분방정식 모델링: 용수철 진동(감쇠, 강제, 공진)과 RLC 전기회로의 물리 현상 분석 • 감쇠진동의 분류: 판별식(c²-4mk) 부호에 따른 과감쇠, 임계감쇠, 미급감쇠 운동의 특징 구분 • 멱급수해법: 미분방정식의 해를 멱급수(∑cₙxⁿ)로 가정하여 계수를 결정하는 해석적 풀이법 |
||
김희수 교수님
대학미적분학(JAMES STEWART)Ⅱ
